0198-3ACh4. Refroidissement d’un circuit électronique par NxN ailettes ou par une ailette unique de grande taille*

Pour améliorer le refroidissement de circuits électroniques ou de moteurs, on y ajoute des ailettes de refroidissement, très souvent en nombre et forme variés afin d’évacuer la chaleur vers l’air ambiant par transfert conducto-convectif (voir figure ci-dessous) :

Dans un premier temps, on étudie une ailette parallélépipédique (figure b), de longueur L dans la direction x et de côtés a et b dans les directions y et z, faite d’un matériau de conductivité thermique λ. Cette ailette est accolée au composant à refroidir, de température T_c, et placée dans l’air de température supposée uniforme T_air. Les échanges entre l’ailette et l’air peuvent être modélisés par les lois de Fourier et de Newton.

Hypothèses de travail :

• Le régime est stationnaire ;
• La température est uniforme sur une section droite donnée de l’ailette ;
• L’ailette est en contact thermique parfait avec le matériau à refroidir ;
• La longueur de l’ailette est assimilée à une longueur infinie, ce qui implique que le flux est nul en x = L.

1-) Montrer que la température d’une ailette seule vérifie l’équation différentielle :

2-) Que représente δ donner sa dimension et son expression en fonction de : a, b, h et λ.  

3-) Résoudre l’équation différentielle (1). Les conditions aux limites étant celles de Dirichlet en x = 0, T(0) = T_c et Adiabatique en x = L. On privilégiera ici la solution en exponentielle.

4-) Exprimer la puissance thermique dissipée par une ailette seule.

5-) Déterminer l’efficacité de cette ailette en fonction uniquement de λ, h et δ. Que peut-on dire de cette efficacité pour une ailette de conductivité infinie ?

Pour les questions suivantes, on négligera la surface vide entre les ailettes

6-) Quelle est la puissance dissipée par N² ailettes de dimensions latérales a x b.

7-) Déduire de la question 4, la puissance thermique dissipée par une ailette unique, mais plus grande, de dimensions Na x Nb.

8.-) Comparer alors la puissance obtenue à la question précédente, à celle obtenue par N² ailettes de dimensions a x b. Quelle est selon vous, la configuration la plus efficace (on supposera N > 2) ?