Les ailettes sont très souvent utilisées dans le milieu industriel, notamment en aéronautique dans les échangeurs air-huile et automobile dans les radiateurs, car elles permettent d’optimiser la dissipation de chaleur en augmentant significativement la surface d’échange thermique. On considère ici une ailette de refroidissement constituée d’un matériau de conductivité thermique λ, de section droite rectangulaire de côtés (a , b) et de longueur L. Elle est fixée à une paroi à température T0 et baigne dans de l’air à température Ta. L’échange de chaleur entre un point de l’ailette à température T et le milieu ambiant se fait par Conducto-Convection, avec un coefficient Conducto-Convectif h. On supposera que :
- Le régime est stationnaire ;
- Il n’y a pas de terme source ;
- b <<< a.
L’objectif de cet exercice est de caractériser le flux thermique dissipé par l’ailette représentée sur la figure ci-dessous.
1°) Sous quelles hypothèses peut-on considérer que la température T est homogène dans une section droite de l’ailette ?
2°) Écrire l’équation différentielle à laquelle obéit en régime stationnaire la température T(z) de l’ailette, en faisant un bilan d’énergie entre deux sections situées en z et z + dz. Exprimez le module de l’ailette qu’on notera m (expression et unité).
3°) Résoudre complètement cette équation différentielle (on privilégiera ici les solutions hyperboliques) afin d’obtenir l’expression de la température. En déduire le flux de chaleur évacué par cette ailette de longueur L.
4°) Quelle serait la loi T(z) si l’ailette avait une longueur infinie ?
5°) Évaluer une condition portant sur L et m pour que l’ailette réelle puisse être assimilée de façon acceptable à une ailette de longueur infinie.
6°) Quel serait le flux de chaleur évacué par une ailette infinie ? Quel serait le flux de chaleur en l’absence d’ailette ?
7°) Exprimer le rendement de l’ailette infinie et discutez, d’un point de vue pratique, de l’intérêt ou non de rallonger indéfiniment la longueur de l’ailette.
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