0010-1ACh1. Ascension d’un ballon gonflé à l’hélium

Plusieurs facteurs interviennent dans le calcul de l’altitude atteinte par un ballon gonflé à l’hélium. L’une des contraintes principales est liée au fait que la pression et la température des gaz diminuent avec l’altitude (atmosphère non isotherme).

On s’intéresse dans cette application à un ballon sphérique, de volume constant V = 15 m³. Le ballon est gonflé à l’hélium de masse molaire M_He = 4 g/mol. A l’instant initial, ce dernier est maintenu au sol par 2 cordes (voir figure ci-dessous). La pression et la température au niveau du sol valent respectivement : P₀ = 1 atm et T₀ = 20°C, pour l’air et l’hélium. L’enveloppe du ballon est en aluminium, la masse totale de cet équipement (enveloppe + nacelle) est d’environ m = 10 kg.

1-) Calculer la masse volumique au niveau du sol (z = 0) d’hélium, que l’on assimilera à un gaz parfait. On supposera la quantité d’hélium constante.

On admet maintenant que la température varie en fonction de l’altitude selon la loi : T(z) = T₀(1 – az), avec a = 2.10^-2 km^-1.

2-) Exprimer la pression P(z) à une altitude z en fonction de P₀, a et de la constante K = M_airg/RT₀a.

3-) En déduire la masse volumique de l’air à une altitude z

4-) Jusqu’à quelle altitude s’élèvera le ballon après que les cordes aient été coupées ?

• Donnée : Masse molaire de l’air M_air = 29 g/mol