0084-3ACh4. Refroidissement d’un composant électronique

On se propose d’étudier le refroidissement d’un composant électronique fonctionnant en régime permanent, une surchauffe trop importante liée à l’effet Joule pouvant entraîner la détérioration du composant. En général, un composant électronique est constitué d’un support en résine (A), d’épaisseur e_A et de conductivité thermique λ_A, sur lequel est déposé un substrat d’épaisseur négligeable et dans lequel est noyé le conducteur. Le substrat est recouvert d’une plaquette métallique, d’épaisseur e_B et de conductivité thermique λ_B. Pour remédier à l’échauffement du composant, on rajoute sur la plaquette métallique n ailettes. Il s’agit de fine feuilles métalliques verticales, de même nature que la plaquette, destinées à accroître le refroidissement (voir figure ci-dessous).

On notera T_p la température de surface externe de la plaquette soit, par conséquent, la température de surface à la base des ailettes de hauteur b, de longueur L et d’épaisseur 2e. On montre aisément que le champ de température T(x) au sein d’une ailette obéit à l’équation différentielle suivante :

1-) Faire le changement de variable adéquat et montrer que cette dernière équation peut se mettre sous la forme :

2-) Montrer qu’une des  solutions à cette équation peut se mettre sous la forme :

3-) Déterminer les paramètres  A et B puis l’expression analytique de θ( x ) et en déduire  T(x). On rappelle que les conditions aux limites du problème correspondant à la variable T(x) sont les suivantes :

On supposera dans la suite de cet exercice que l’ailette est infinie.

4-) Pour cette nouvelle condition aux limites, déterminer la nouvelle expression de θ( x ) puis en déduire celle de T(x).

5-) Déterminer le flux thermique Φ_a, dissipé par une seule ailette en x = 0 (surface externe de la plaquette métallique). En déduire le flux Φ_na dissipé par les n ailettes en x = 0.

7-) On s’intéresse toujours ici au flux dissipé par la surface externe de la plaquette métallique, constituée de n ailettes et des surfaces libres qui s’alternent. On rappelle que deux ailettes consécutives sont séparées entre elles par une surface libre où la chaleur est dissipée par convection.

• (a)-Déterminer le flux Φ_nb dissipé par l’ensemble des surfaces libres en x = 0.
• (b)-Déduire alors le flux de chaleur Φ_plaquette dissipé par l’intégralité de la plaque métallique en x = 0.