0142-3ACh4. Efficacité d’une ailette de refroidissement

On considère le boîtier d’un transistor de puissance (B). Les phénomènes dissipatifs dont il est le siège le porte à une température supérieure à la température ambiante. Pour faciliter le transfert thermique du boîtier vers l’extérieur, on le prolonge par un barreau cylindrique mince, de longueur L et de section S = πa²  (voir figure ci-dessous). Le barreau est suffisamment mince pour que sa température ne dépende que de la variable x, comptée dans le sens de sa longueur. On supposera le régime permanent atteint.

L’ailette de conductivité thermique λ n’étant pas isolée, elle présente des pertes thermiques par convection : h( T(x)-T_∞ ). Où T_∞ est la température du fluide, suffisamment loin de l’ailette pour que le milieu y soit à l’équilibre thermique. La région du fluide où T = T_∞ = T_e = Cte n’est pas en contact direct avec le barreau, ainsi la condition T(L) = T_∞ n’est pas valable en bout d’ailette. A l’extrémité de l’ailette, on appliquera donc la condition de Newton (continuité du flux thermique) ; h étant le coefficient de transfert thermique par convection entre la paroi solide de l’ailette et le fluide.

1-) Déterminer le champ de température T(x) au sein de l’ailette. On définit par :

2-) Calculer le rapport ρ des puissances évacuées par le corps (B) à travers la surface S, en présence du barreau et sans le barreau.

3-) Montrer à partir du rapport ρ, qu’une ailette n’a d’intérêt que si l’efficacité respecte la condition :

• Commenter le résultat obtenu en fonction des paramètres a, h et λ.

4-) Pour simplifier les calculs, on considère maintenant une ailette infinie (L → ∞).

• Reprendre la question 1-)
• Calculer de deux manières différentes la puissance fournie par le boîtier au barreau.