Première Partie : Généralités sur les coefficients calorimétriques
On rappelle que la quantité de chaleur dQ reçue par une mole de gaz au cours d’une transformation infinitésimale réversible peut s’exprimer en fonction des variables P et V par la relation : dQ = λdP + μdV. Où λ et μ représentent des coefficients calorimétriques.
1°) Exprimer λ et μ en fonction de Cp et Cv, chaleurs molaires à pression constante et à volume constant respectivement, et des dérivées partielles issues de la dérivation totale de la température T.
Dans la suite du problème, le gaz est considéré comme un gaz parfait, pour lequel le rapport γ = Cp/Cv est une fonction linéaire de la température : γ = aT + b, où a et b sont deux constantes positives.
2°) Exprimer λ et μ en fonction de P, V et γ.
3°) Déterminer l’énergie interne molaire U(T) de ce gaz.
4°) Démontrer que l’équation des isentropiques s’écrit :
(TVb-1) x (aT + b – 1)-1 = Cte
Deuxième Partie : Efficacité du cycle de la machine Ditherme
Le gaz parfait considéré précédemment décrit le cycle de Stirling ci-dessous, constitué des quatre phases suivantes :
Étape (1 – 2) : Compression isotherme, de A(V1, T1) à B(V2, T1), pendant laquelle le gaz est en contact avec une source de chaleur à la température T1.
Étape (2 – 3) : Échauffement isochore, de B(V2, T1) à C(V2, T2), pendant laquelle le gaz est en contact avec une source de chaleur à la température T2.
Étape (3 – 4) : Détente isotherme, de C(V2, T2) à D(V1, T2), pendant laquelle le gaz reste en contact avec la source de température T2.
Étape (4 – 1) : Refroidissement isochore, de D(V1, T2) à A(V1, T1), pendant laquelle le gaz est en contact avec la source de température T1.
5°) Quelle est la nature de la Machine Ditherme dans laquelle évolue le gaz étudié ?
6°) Pour chacune des Étape-IJ du cycle, calculer le travail WIJ et la chaleur QIJ reçus par le gaz, en précisant leurs signes. Toutes les grandeurs calculées devront être exprimées uniquement en fonction de T1, T2, V1, V2, a, b et R.
7°) Quelles sont les quantités de chaleur QF et QC fournies au gaz respectivement par la source froide et par la source chaude ?
8°) Exprimer le rendement de cette Machine en fonction de T1, T2, V1, V2, a, b et R. Mettre ce rendement sous la forme : ɳ = β x f(T1, T2). Où β et f(T1, T2) sont des fonctions à expliciter.
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