0235-1ACh3. Cycle de Carnot d’un gaz parfait

Une masse m d’un gaz parfait monoatomique décrit le cycle de Carnot ci-dessous constitué par les transformations réversibles suivantes :

-Une transformation adiabatique, de A(P_A; V_A; T_A) à B(P_B; V_B; T_B) avec T_B > T_A ;

-Une détente à température constante, de B à C(P_C; V_C; T_B) ;

-Une transformation adiabatique, de C à D(P_D; V_D; T_A) ;

-Une compression à température constante, de D à A.

On admettra que la capacité calorifique à volume constant du gaz est indépendante de la température.

1°) Démontrer les relations P_AP_C = P_BP_D et V_AV_C = V_BV_D.

2°) Déterminer les travaux W_AB ; W_BC; W_CD et W_DA reçus par le gaz dans chacune des transformations constituant le cycle, en fonction des coordonnées des états initial et final correspondants.

3°) Quelle est la relation entre W_AB et W_CD ? Retrouver directement cette relation en appliquant le Premier Principe de la Thermodynamique et en tenant compte du fait que le gaz est parfait.

4°) Déterminer, en fonction des coordonnées des sommets du cycle, les quantités de chaleur Q_AB; Q_BC; Q_CD et Q_DA reçues par le gaz dans les quatre transformations du cycle et en préciser les signes.

5°) Établir une relation entre Q_BC et Q_DA.

6°) Déterminer le travail total W_cycle reçu par le gaz au cours du cycle. Montrer que l’on pouvait prévoir son signe et le vérifier.

7°) Donner la définition générale du rendement relatif à un cycle et déterminer le rendement ɳ du cycle considéré ici.

8°) Déterminer les coordonnées des états C et D de telle sorte que Q_BC ait une valeur fixée à l’avance.

9°) Application numérique :

P_A = 10⁵ Pa ; T₁ = 300 K ; T₂ = 280 K ; Q_BC = 200 J ;  γ = 5/3 ; R = 8,31 J.K^-1.mole^-1 ; nombre de mole = 1/10.