0063-3ACh2. Température au centre d’un conducteur cylindrique

On considère le conducteur cylindrique ci-dessous : de résistivité ρ, de conductivité thermique λ1 et de rayon R1, entouré d’une gaine concentrique isolante de rayon extérieur R2 et de conductivité thermique λ2. Le fil infiniment long, est parcouru par un courant d’intensité I et le contact conducteur/isolant est supposé parfait. On appelle Ta la température de l’air ambiant  et h le coefficient d’échange thermique entre la gaine et l’air ambiant. Soient Tc la température au centre du fil, TR1 la température en r = R1 et TR2 la température en r = R2.

Fig.: Conducteur cylindrique entouré de sa gaine isolante

1-) Exprimer la puissance volumique ω produite dans le conducteur.

2-) Exprimer Tc – TR1, TR1 – TR2 et TR2 – Ta en fonction  de ω  et des données du problème.

3-) En déduire la température Tc en fonction de ω et des données du problème.

4-) Y-a-t-il un rayon R2C de l’isolant pour lequel la température au centre du fil passe par un minimum ? 

5-) Si la question précédente est vérifiée et pour ce cas particulier, donner la température au centre du fil et l’expression de la densité de flux dissipé pour un rayon r = R2C.

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