0072-3ACh3. Conservation du flux thermique dans un cylindre multicouches

On considère On considère dans un premier temps, un cylindre creux monocouche, de conductivité thermique k1, de rayon intérieur r1, de rayon extérieur r2 et de longueur L. Les températures des faces internes et externes sont respectivement de T1 et T2.

1-) On suppose que la température ne dépend que du rayon r et la chaleur est uniquement transférée par conduction. En régime permanent, trouver l’expression du flux de chaleur en fonction de k1, T1 et T2, r1 et r2.

2-) Montrez alors que le flux de chaleur est conservatif.

3-) Donner l’expression de la résistance thermique du cylindre

Dans l’industrie métallurgique, le cylindre multicouches est le cas pratique d’un tube recouvert d’une ou plusieurs couches ou épaisseurs de matériaux différents. On fabrique un cylindre multicouches, en formant la ou les couches par dépôt de plusieurs alliages métalliques sous forme de fines gouttelettes liquides en atmosphère contrôlée. Très souvent on ne connaît que les températures Tf1 et Tf2 des fluides en contact avec les faces internes et externes du cylindre.

On considère maintenant le cas d’un cylindre creux à 4 couches, à l’intérieur duquel circule un fluide à température Tf1, de coefficient de transfert convectif h1. La face extérieure du cylindre multicouches est en contact avec un fluide à température Tf2 et de coefficient de transfert convectif h2. On note r1, r2, r3, r4 et r5, respectivement : le rayon du cylindre intérieur et des couches 1, 2, 3 et 4; k1, k2, k3 et k4, les conductivités thermiques des quatre couches ; h1 et h2 représentent les coefficients de transfert de chaleur par convection entre les fluides et les faces interne et externe (voir figure ci-dessous) :

Fig.: Transfert de chaleur dans un cylindre multicouches

4-) Notez que le flux de chaleur est ici encore conservatif. Si T1, T2, T3, T4 et T5 désignant respectivement les températures des faces correspondant aux rayons r1 à r5 :

a- Donner une expression du flux de chaleur dans les différents compartiments du système, en fonction des températures et des rayons de chaque couche (aucune démonstration n’est nécessaire !) 

b- Déterminer à partir de l’expression du flux, la résistance thermique Ri > 0 (i = 1 à 6) correspondant à chaque compartiment du système.

c- Donner les expressions des températures :

  • T5 en fonction du flux de chaleur, Tf2 et r5
  • T4 en fonction du flux de chaleur, T5, r5 et r4
  • T3 en fonction du flux de chaleur, T4, r4 et r3
  • T2 en fonction du flux de chaleur, T3, r3 et r2
  • T1 en fonction du flux de chaleur, T2, r2 et r1

5-) A quel modèle électrique correspond ce cylindre multicouches ? Donnez une représentation symbolique du modèle électrique correspondant.

6-) On pose Req > 0, la résistance thermique équivalente du système. Donner son expression puis, déduire une expression du flux de chaleur en fonction de Tf1, Tf2 et Req.

7-) On suppose que les rayons du cylindre multicouches vérifient la relation : rn+1 = 1,5rn et on donne kn+1 = 1,5kn avec k1 = 1,4 W.m-1.K-1 ; h2 = 1,5h1 ; h1 = 1 W.m-2.K-1; Tf2 = 25°C et Tf1 = 200°C ; L = 1m.

a- Déterminer le rayon du cylindre intérieur r1 pour que le flux de chaleur ne dépasse pas 0,5 kW.

b- Calculer la résistance équivalente du système Req.

c- A partir de la question 4-c), calculer les températures T1, T2, T3, T4 et T5.

On rappelle que le Laplacien de T en coordonnées cylindriques est le suivant :

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