0086-3ACh5. Méthode du gradient nul

Note culturelle :

Bien que la conduction transitoire dans un solide soit généralement déclenchée par un transfert de chaleur par convection à partir d’un fluide adjacent, d’autres processus peuvent induire des conditions thermiques transitoires dans le solide. Si les températures du solide et de l’environnement diffèrent, l’échange par rayonnement pourrait intervenir. Des changements pourraient également être induits en appliquant un flux de chaleur sur une partie ou la totalité de la surface ou s’il existe une génération d’énergie thermique au sein du solide.

La figure ci-dessous illustre la situation générale pour laquelle les conditions thermiques à l’intérieur d’un solide peuvent être influencé simultanément par de la convection (condition de Newton), du rayonnement, un flux de chaleur en surface (condition de Neumann) et une génération d’énergie interne.

On suppose que initialement (en t = 0),  la température du solide T0 diffère de celle du fluide T et de celle de l’environnement Tenv. De plus le flux (condition de Neumann) , ainsi que la génération de chaleur volumique interne  sont initiées. Bien qu’en général convection et rayonnement agissent sur une même surface, celles-ci peuvent, en fait, être différentes (AconvAray).

1-) Appliquez la conservation de l’énergie au solide à tout instant et donner l’équation générale vérifiée par la température

2-) Expliciter et  définir chacun des termes de cette équation

L’équation générale trouvée à la question précédente est une équation différentielle non linéaire, du premier ordre, non homogène qui est en l’état, non intégrale de manière exacte. Cependant, des solutions exactes peuvent être obtenues pour des cas particuliers.  On s’intéresse ici à la configuration particulière où le rayonnement est supposé négligeable et le gradient de température nul. On admettra également qu’il n’y a pas de production interne d’énergie.

3-) Que devient l’équation générale dans ce cas particulier ? Déduire de cette nouvelle équation, la constante de temps du système.

4-) Quelle est la solution de cette nouvelle équation ? Mettre cette solution sous une forme adimensionnelle.

5-) Rappeler les définitions des nombres de Biot et de Fourier

Application Numérique:

Une sphère métallique (CP = 0,46 kJ/kg.K, λ = 35 W/m.K) de 5 cm de diamètre, initialement à la température de 550°C est immergée brutalement dans une ambiance maintenue à une température constante de 80°C. Le coefficient de transfert externe est égal à 10 W/m2.K.

6-) Calculer le temps au bout duquel le centre de la sphère atteint la température de 100°C. On donne ρ = 7800 kg/m3.

7-) Quelle est l’énergie (en J) transférée pendant le temps calculé à la question précédente.

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