0154-4ACh3. Poussée délivrée au décollage par le lanceur Ariane 5*

Note Culturelle :

Le moteur Vulcain assure la propulsion de l’étage principal des lanceurs Ariane. La réaction exothermique du dihydrogène et du dioxygène, dans une chambre de combustion, produit de la vapeur d’eau à hautes température et pression qui s’évacue à grande vitesse à travers une tuyère (voir Figure 1). C’est l’éjection de ce gaz de combustion qui génère la poussée participant à la propulsion de la fusée.

Une tuyère est une simple conduite de section variable, sans élément mobile, dans laquelle un gaz se détend. Le fluide en entrée possède une enthalpie massique importante (donc haute pression et température), et lors de la détente cette enthalpie est transformée en énergie cinétique macroscopique. La tuyère est donc une sorte de détendeur, mais qui est optimisé pour que le fluide acquiert une énergie cinétique importante en sortie. Pour la première phase de vol, le moteur Vulcain est assisté de deux puissants boosters (réacteurs à poudre) qui fournissent la majeure partie de la poussée nécessaire au décollage.

Notez que seul le moteur Vulcain fait l’objet de cette étude. L’exercice aborde un cadre très simplifié de la propulsion du moteur. Ainsi on considèrera les hypothèses ci-dessous :

• Tous les gaz sont parfaits
• Écoulement unidirectionnel et unidimensionnel dans la tuyère (les grandeurs sont uniformes sur toute section droite notée A)
• Transformations adiabatiques et réversibles dans la tuyère
• Régime permanent et système conservatif
• Gravité négligée dans l’étude de la tuyère (variation d’énergie potentielle de pesanteur nulle)
• Vitesse d’entrée du fluide négligée, par rapport à sa vitesse de sortie

Les grandeurs d’entrée de tuyère seront indicées e et les grandeurs de sortie indicées s (voir Figure 2). L’objectif de cet exercice est d’étudier les performances de la tuyère au décollage. Pour cela, on fera appel à la loi de Barré De Saint Venant et à la relation de Hugoniot.

1-) Pour un gaz parfait, que vaut le rapport c_p/c_v ? où c_p et c_v désignent respectivement les chaleurs spécifiques à pression et volume constants.

2-) Rappeler la relation de Mayer et établir l’expression de c_p en fonction de la constante de Laplace et de la masse molaire M₀ du gaz.

Nous admettons que les différentielles de vitesse (dV) et de pression (dP) sont reliées par l’égalité issue du principe fondamental de la dynamique : ρVdV = -dP. Notez également que la vitesse du son dans un gaz parfait est fonction du coefficient de Laplace, de la masse volumique du gaz, ainsi que de sa pression. Cette vitesse se calcule théoriquement par : c² = ɣrT où r désigne la constante spécifique du gaz parfait.

3-) Établir une relation entre les différentielles dA et dV, paramétrée par le nombre de Mach M (cette relation est attribuée à Hugoniot).

En régime de fonctionnement dit adapté, le moteur fusée produit son meilleur rendement; on supposera que c’est le cas du moteur Vulcain. Dans cette configuration précise, le nombre de Mach est égal à l’unité au niveau du col de la tuyère. On aura donc : un écoulement subsonique des gaz en amont du col et supersonique en aval.

4-) Déduire de la relation de Hugoniot, que les gaz chauds ne peuvent qu’accélérer en aval du col de la tuyère du lanceur Ariane.

5-) A partir du premier principe de la Thermodynamique appliqué aux systèmes ouverts, établir l’expression de la vitesse d’éjection des gaz V_s en fonction des températures entrée/sortie et de c_p.

6-) Montrez alors que la vitesse en sortie de tuyère peut s’écrire sous la forme :

7-) Établissez à partir de l’expression de la vitesse de sortie V_s, l’équation de Barré De Saint Venant (expression de la vitesse d’éjection des gaz en fonction de la constante de Laplace, des pressions entrée/sortie et de la masse volumique du gaz en entrée de tuyère, uniquement !).

8.-) Quelles paramètres permettraient d’optimisés la vitesse d’éjection des gaz ?

Exploitation des données :

Le fluide circulant dans la tuyère est un gaz parfait, d’exposant adiabatique 1,2; de capacité thermique massique à pression constante 1000 J.kg^-1.K^-1, que l’on supposera indépendant de la température. Les propriétés du gaz en entrée de tuyère sont les suivantes : P_e = 100 bar; T_e = 3000 K; ρ_e = 11,63 kg.m^-3. On supposera pour simplifier qu’en sortie, la pression est égale à la pression atmosphérique. La masse des gaz de combustion produite par unité de temps est : D = 250 kg/s (constante, car système conservatif). La masse initiale de l’ensemble de la fusée (avec carburants et comburants) est : m_fusée = 800 tonnes. Enfin, la constante spécifique de la vapeur d’eau : r = R/M_H2O = 462  J.K^-1.kg^-1, où R est la constante des gaz parfaits et M_H2O est la masse molaire de l’eau.

9-) Calculez la vitesse d’éjection des gaz en sortie de tuyère de la fusée Ariane et en déduire la force de poussée délivrée par le moteur Vulcain

10-) Comparez cette force au poids de la fusée, commentez.

11-) Déterminer le nombre de Mach en sortie de tuyère et vérifier que la vitesse y est supersonique