0156-3ACh2. Échanges thermiques simplifiés du fuselage d’un avion*

On assimile le fuselage d’un avion à un cylindre de rayon intérieur R_i d’épaisseur e et de longueur L. Il est constitué d’un matériau de conductivité thermique λ. La longueur L étant grande devant R_i, on négligera l’influence des extrémités ; seule la surface latérale de ce cylindre sera prise en compte pour l’étude thermique. De plus, le fuselage est peint avec une peinture blanche d’émissivité ξ = 0.9 et d’absorptivité α = 0.2.

Dans l’avion, on suppose que l’air est immobile à la température T_i et que la convection au niveau de la paroi intérieur est négligée. Ainsi, la température de la paroi interne du fuselage est notée T_i.

À l’extérieur de l’avion qui se déplace à la vitesse V, l’air situé au contact du fuselage est à la température T_A. Au contact de la paroi externe du fuselage, on note h le coefficient de transfert convectif et T_e la température de la surface externe du fuselage.

Loin de l’avion, on note T_∞ la température moyenne de l’atmosphère.

L’objectif de l’étude est de déterminer le flux thermique traversant le fuselage. On se place en régime permanent.

Données :

NB : Les parties I, II et III peuvent être traitées de manière indépendante. On rappelle l’expression du Laplacien en coordonnées cylindriques (on supposera sans le démontrer que les problèmes de cet énoncé sont à symétrie radiale) :

Partie I : Conduction thermique dans l’épaisseur du fuselage

On s’intéresse dans un premier temps à la conduction thermique au sein de l’épaisseur du fuselage.

1-) Définir le phénomène de conduction thermique. Énoncer la loi qui régit ce phénomène.

2-) Exprimer la loi de température T en fonction notamment de R_i, e, T_i, T_e et r.

3-) Exprimer le flux de chaleur Փ_cond traversant le fuselage d’épaisseur e de l’intérieur vers l’extérieur. Que peut-on dire sur ce flux ?

Partie II : Convection

4-) Définir le phénomène de convection thermique. Énoncer la loi qui régit ce phénomène.

5-) Exprimer le flux  Փ_conv perdu par convection au niveau de la surface du fuselage.

Partie III : Rayonnement

La face externe du fuselage échange également de la chaleur sous plusieurs formes de rayonnement. L’une d’entre elles, due au Soleil est caractérisée par un apport de puissance surfacique φ_s orthogonale aux rayons solaires. L’autre correspond au rayonnement de l’atmosphère.

6-) On note α l’absorptivité du fuselage. En considérant que le fuselage ne reçoit que le rayonnement provenant du Soleil, montrer que le flux solaire reçu par le fuselage s’écrit :

Փ_sol =2(Ri + e)Lα φ_s

7-) Déterminer le flux radiatif Փ_atm reçu par le fuselage de la part de l’atmosphère qui se trouve à la température T_∞. On supposera que 90% (absorptivité α = 0.9) du flux est absorbé par le fuselage.

8-.) Déterminer le flux Փ_e émis par le fuselage.

9-) À partir d’un bilan radiatif, établir l’expression du flux radiatif net Փ_rad reçu par le fuselage.

Partie IV : Bilan thermique du fuselage

10-) Écrire le bilan thermique de la face extérieure du fuselage en tenant compte de l’ensemble des modes de transferts thermiques présents. On ne cherchera pas à résoudre cette équation.

La résolution de l’équation obtenue à l’aide de Matlab, conduit à T_e = 233.04 K.

11-) Évaluer les flux thermiques conductif Փ_cond, convectif Փ_conv et radiatif Փ_rad.

12-) Commenter l’importance de chacun des trois transferts thermiques étudiés.