0171-3ACh4. Ailette encastrée, avec une température constante à son extrémité libre*

On considère un corps solide (B) pouvant être un boitier de transistor. Les phénomènes dissipatifs dont il est le siège, le porte à une température T₀, supérieure à la température de l’air ambiant (T_air), voir figure ci-dessous :

Pour faciliter le transfert thermique du boitier vers l’extérieur, on le prolonge par une ailette mince, de section rectangulaire constante (notée A, on désignera par p le périmètre entourant cette section) et de longueur L. Par ailleurs, l’ailette est suffisamment mince pour que sa température ne dépende que de la variable x, comptée dans le sens de sa longueur. On considèrera que le régime stationnaire est atteint.

L’ailette de conductivité thermique λ n’étant pas calorifugée, elle présente des pertes thermiques par convection, on notera h, le coefficient de convection dans l’air. Enfin cette ailette est supposée suffisamment longue pour que la température à l’extrémité libre soit considérée constante : en x = L, T(x) = T_L.

1-) En admettant que l’équation différentielle vérifiée par la température T(x) d’une ailette encastrée dans une paroi (ici le boitier du transistor à la température T₀) et baignant dans l’air à la température T_air, est une équation du second ordre à coefficient constant : rappeler cette équation différentielle, donner la forme générale de ses solutions et définir le module m de cette ailette.

2-) Donner une expression des coefficients d’intégration C₁ et C₂ de cette famille de solutions en fonction de : T₀ ; T_air ; T_L ; cosh(mL) et sinh(mL).

3-) Justifier pourquoi le flux dissipé par cette ailette se calcule au point d’encastrement (x = 0) et exprimer ce flux en fonction de : T₀ ; T_air ; T_L ; cosh(mL) ; sinh(mL) ; λ ; A et m.

4-) En déduire l’expression de son rendement

5-) Est-il intéressant d’utiliser une ailette indéfiniment longue pour cette configuration ?

Le modèle d’ailettes étudié précédemment représente un élément de dissipateur thermique pour des transistors de grande puissance où, le système d’ailettes réalisé en aluminium, a l’aspect indiqué sur la figure ci-dessous :

6-) Donner une représentation symbolique détaillée du modèle électrique correspondant au dissipateur thermique

7-) Pour des ailettes infinies, déterminer le rendement thermique du dissipateur à 6 ailettes et comparer le à celui d’une ailette infinie seule.

Données :

• Conductivité thermique de l’aluminium : λ = 200 W.m^-1.K^-1
• Coefficient de convection dans l’air : h = 25 W.m^-2.K^-1
• Température moyenne de l’air : T_air = 20°C
• Température à la base des ailettes : T₀ = 50°C
• Nombre d’ailettes (identiques) : N = 6
• Épaisseur d’une ailette : t = 0,2 mm
• Longueur d’une ailette : L = 40 mm
• Largeur d’une ailette : W = 75 mm
• Longueur du système à N ailettes : H = 80 mm
• Épaisseur de la base du dissipateur : t_b = L/4