0050-2ACh3. Cylindre aux parois diathermanes

Note culturelle : Transformation Quasi-Statique

Une transformation est dite quasi-statique, si elle est très lente, de manière que l’on puisse considérer qu’elle est constituée d’une succession d’états d’équilibre. C’est une transformation idéale vers laquelle peut tendre une transformation réelle. Par exemple, une compression est quasi-statique si le volume et la température du système changent avec un taux assez faible pour que la pression demeure uniforme et constante à travers le système. Attention, toute transformation réversible peut être considérée comme quasi-statique. Cependant, tout processus quasi-statique n’est pas nécessairement réversible

On imagine un cylindre aux parois diathermanes (perméables à la chaleur), fermé par un piston. Le piston, de masse négligeable peut glisser sans frottement entre 2 cales A et B, sa section est S. Dans l’état initial, le piston est en A, le cylindre renferme un volume V_A d’air supposé parfait, de coefficient adiabatique γ. On note les coordonnées du gaz dans l’état 0 : P₀, V_A, T₀. P₀ étant la pression à l’extérieur.

***Fig.:*** ***Cylindre aux parois diathermanes***

On place une masse m sur le piston et on chauffe très doucement le gaz par un moyen approprié, non représenté sur le schéma, jusqu’à ce que le piston décolle juste de la cale A (gaz dans l’état 1 : P₁, V_A, T₁);
Puis on maintient un chauffage isobare (transformation très lente), jusqu’à ce que le piston arrive juste en B (gaz dans l’état 2 : P₂, V_B, T₂), le chauffage est alors arrêté;
On ôte la masse m et on laisse refroidir l’ensemble jusqu’à ce que le piston décolle juste de B (gaz dans l’état 3 : P₃, V_B, T₃);
On laisse toujours refroidir jusqu’à la température T₀, alors le piston revient en A (gaz dans l’état 0 : P₀, V_A, T₀). Le cycle est terminé.

Données numériques : V_B = 1L ; V_A = 330 mL ; T₀ = 300 K, P₀ = 1 bar ; m = 10 kg ; S = 100 cm² ; g = 10 N.kg^-1 ; γ = 1,4 ; R = 8,314 J.K^-1.mol^-1.

Les capacités thermiques du gaz seront supposées indépendantes de la température. C_p et C_v sont les capacités thermiques respectivement à pression et à volume constants. Les différentes transformations seront supposées très lentes (quasi-statiques ou réversibles).

1-) Exprimer les capacités thermiques à pression et à volume constants du gaz en fonction de n, R, γ puis, en fonction de P₀, V_A, T₀ et γ.

2-) Quelle est la nature de la transformation 0 → 1 subie par le gaz

3-) Exprimer la pression P₁ et la température T₁ en fonction de P₀, T₀, m, g et S. Faire l’application numérique

4-) Exprimer la quantité de chaleur (transfert thermique) Q_0→1 reçue par le gaz au cours de cette transformation en fonction de C_v ou C_p, T₁, T₀ puis, P₀, T₁, T₀, V_A, γ. Faire l’application numérique.

5-) Quelle est la nature de la transformation 1 → 2 subie par le gaz.

6-) Exprimer la température T₂ en fonction de T₁, V_A, V_B. Faire l’application numérique.

7-) Exprimer la quantité de chaleur (transfert thermique) Q_1→2 reçue par le gaz au cours de cette transformation en fonction de C_v ou C_p, T₁, T₂ puis, P₀, T₀, T₁, T₂, V_A, γ. Faire l’application numérique.

8-.) Quelles sont les natures des transformations 2 → 3 puis 3 → 0 subies par le gaz.

9-) Exprimez le travail échangé par ce moteur avec l’extérieur, au cours du cycle, en fonction de m, g, V_A, V_B et S. Faire l’application numérique.

10-) Tracer l’allure du diagramme de Clapeyron d’un cycle.

11-) Retrouver d’après le diagramme le travail calculé précédemment.

12-) Exprimez puis calculez le rendement de ce moteur en fonction des différents transferts d’énergie

13-) Exprimez puis calculez le rendement de Carnot fonctionnant entre les températures T₀ et T₂. Conclure