0075-3ACh3. Étude thermique d’un mur isotrope*

Considérons un mur de bâtiment constitué d’un matériau homogène, isotrope, de masse volumique ρ, de capacité thermique massique c et de conductivité thermique λ. Nous supposerons ces données comme constantes.

Le mur est limité par deux plans parallèles, distants de e_b (voir figure  ci-dessous). Nous notons T_int la température de l’air à l’intérieur du bâtiment et T_ext < T_int la température extérieure du bâtiment supposées constantes. On supposera également que la chaleur se propage uniquement dans la direction (ox). On notera T(x) la température en un point du mur d’abscisse x. L’air de la surface du mur sera notée S. L’étude est réalisée en régime permanent.

PARTIE A : Étude du mur simple

1-) Écrire l’équation différentielle à laquelle obéit la température T(x).

2-) En déduire la loi d’évolution de la température. Commenter

3-) En supposant que seuls les phénomènes conductifs sont prépondérants, exprimer le vecteur densité de courant (resp. flux) dans le mur. Préciser ce que vous utilisez et justifiez son orientation.

4-) Déterminer le flux thermique total Φ traversant le mur.

5-) Rappeler la définition de la résistance thermique R_th ainsi que son unité. Donner son expression en fonction des données du problème.

6-) Applications numériques:

On donne T_int = 19°C et T_ext = -15°C. Le mur est en béton et possède une conductivité thermique λ_b = 1,75 W.m^-1.K^-1.

• (a)-Calculer la valeur du flux thermique surfacique φ.
• (b)-Calculer la profondeur e_HG du mur demeurant hors gel.

PARTIE B : Étude du mur composite

Le mur a maintenant une structure composite constitué de quatre matériaux différents : carreaux de plâtre ; laine de verre ; béton et crépis extérieur homogène et isotrope (voir figure ci-dessous). Les données des épaisseurs e_k, k = 1, 2, 3 et 4, et les conductivités thermiques λ_k sont fournies dans le tableau ci dessous. Les températures des surfaces interne et externe étant toujours notées T_int et T_ext. On reste bien entendu en régime permanent.

7-) Déterminer l’expression de la résistance thermique équivalente R_th,eq du mur composite en fonction de la surface S et des épaisseurs e_k et conductivité thermique λ_k.

8-.) Calculer le rapport R_th/R_th,eq. Commenter

9-) Calculer les températures intermédiaires T₂, T₃ et T₄ aux interfaces entre les couches.