0076-3ACh3. Épaisseur optimale d’une gaine cylindrique*

On considère un câble cylindrique constitué par un conducteur électrique en cuivre entouré d’une gaine de caoutchouc (rayon extérieur R₁ et rayon intérieur R₂). On se fixe les conditions de service suivantes :

la température du cuivre, supposée uniforme, ne doit pas dépasser T₂ = 100°C,
la surface extérieure de la gaine est, en régime permanent, à la température T₁ = 20°C,
l’air ambiant est à la température T₀ = 15°C.

***Fig.:*** ***Câble électrique cylindrique***

1-) Montrer que la puissance linéique maximale dissipée par effet Joule et transmis dans la gaine de caoutchouc peut se mettre sous la forme :

2-) Déterminer l’intensité maximale du courant pouvant traverser le conducteur. AN : R₂ = 5 mm ; R₁ = 10 mm ; λ_caoutchouc = 1,3.10^-3 W.cm^-1.°C^-1 ; Résistivité électrique du cuivre ρ = 1,6.10^-6 Ω.cm.

Les échanges entre la surface de la gaine et l’air ambiant peuvent être décrits à l’aide d’un coefficient global h, défini par unité de surface, qui tient compte tout à la fois des effets de convection et de rayonnement. La résistance thermique globale étant définie par la relation : R = (T₂ – T₀)/Φ_L

3-) Donner l’expression de R en fonction des caractéristiques thermiques et géométriques du problème

4-) Montrer que lorsque Φ_L, λ, R₂ et h restent constants, la fonction R(R₁) passe par un minimum local. Commenter les conséquences de cette évolution. On donne la valeur minimum pour h = 10 W.m^-2.