0078-3ACh3. Échange entre l’air d’un local et le plancher chauffant

Comme le montre la figure ci-dessous, on considère un local de superficie au sol S, à une température ambiante Ta où la dalle (de conductivité λd et d’épaisseur ed) repose sur une couche de béton. La couche de béton (conductivité λb et épaisseur eb) est posée sur une conduite d’eau. Bien évidemment, ceci est une simplification d’un plancher chauffant dans lequel la conduite d’eau est noyée dans le béton. L’eau qui circule dans la conduite avec un débit massique D entre à la température Te et sort à la température Ts. On note Cp sa capacité calorifique.

On considère des échanges convectifs entre la dalle et le milieu ambiant Ta ; le coefficient de convection est noté h. L’isolant d’épaisseur ei et de conductivité thermique λi, est au contact d’une part avec la conduite d’eau et d’autre part avec la terre à la température Ti.

→ Hypothèses :

  • Les contacts thermiques entre les différentes couches sont supposés parfaits.
  • Dans cette partie on néglige l’existence des murs et plafond fermant le local.
  • On néglige la résistance de convection qui permet le transfert de la chaleur de l’eau vers le tube, ainsi que la résistance de conduction qui permet la propagation de la chaleur au travers du tube.
Fig.: Local et son plancher chauffant

1-) Exprimer et calculer la densité de flux φ perdue par l’eau entre l’entrée et la sortie de la conduite. Puis exprimer la puissance Φ cédée par l’eau si la surface au sol est de 20 m2.

  • Données : Te = 44,5 °C ; Cp = 4,18 kJ.°C-1.kg-1 ; D = 0,1 kg.s-1 ; Ts = 40,5°C.

2-) Dans la suite du problème on adoptera la moyenne arithmétique Tmoy comme valeur de la température de l’eau dans la conduite : Tmoy = (Te + Ts)/2. Donner le schéma électrique équivalent relatif au problème d’échange entre l’eau et les parties supérieure et inférieure en faisant apparaître Ti, Ta, Tmoy. On notera sur le schéma Φ1 le flux qui part dans la partie inférieure et Φ2 celui part dans la partie supérieure.

3-) Donner l’expression littérale de l’épaisseur ei de l’isolant pour que seulement 5% du flux fourni par la conduite d’eau passe par la partie inférieure. Calculer ei et la température Ta dans cette configuration.

  • Données : Ti = 12°C ; λi = 0,02 W.m-1.°C-1; eb = 10 cm ; ed = 2 cm ; λb = 2,1 W.m-1.°C-1λd= 1,8 W.m-1.°C-1; h = 4 W.m-2.°C-1;

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