0078-3ACh3. Échange entre l’air d’un local et le plancher chauffant*

Comme le montre la figure ci-dessous, on considère un local de superficie au sol S, à une température ambiante T_a où la dalle (de conductivité λ_d et d’épaisseur e_d) repose sur une couche de béton. La couche de béton (conductivité λ_b et épaisseur e_b) est posée sur une conduite d’eau. Bien évidemment, ceci est une simplification d’un plancher chauffant dans lequel la conduite d’eau est noyée dans le béton. L’eau qui circule dans la conduite avec un débit massique D entre à la température T_e et sort à la température T_s. On note C_p sa capacité calorifique.

On considère des échanges convectifs entre la dalle et le milieu ambiant T_a ; le coefficient de convection est noté h. L’isolant d’épaisseur e_i et de conductivité thermique λ_i, est au contact d’une part avec la conduite d’eau et d’autre part avec la terre à la température T_i.

→ Hypothèses :

Les contacts thermiques entre les différentes couches sont supposés parfaits.
Dans cette partie on néglige l’existence des murs et plafond fermant le local.
On néglige la résistance de convection qui permet le transfert de la chaleur de l’eau vers le tube, ainsi que la résistance de conduction qui permet la propagation de la chaleur au travers du tube.

***Fig.:*** ***Local et son plancher chauffant***

1-) Exprimer et calculer la densité de flux φ perdue par l’eau entre l’entrée et la sortie de la conduite. Puis exprimer la puissance Φ cédée par l’eau si la surface au sol est de 20 m².

Données : T_e = 44,5 °C ; C_p = 4,18 kJ.°C^-1.kg^-1 ; D = 0,1 kg.s^-1 ; T_s = 40,5°C.

2-) Dans la suite du problème on adoptera la moyenne arithmétique T_moy comme valeur de la température de l’eau dans la conduite : T_moy = (T_e + T_s)/2. Donner le schéma électrique équivalent relatif au problème d’échange entre l’eau et les parties supérieure et inférieure en faisant apparaître T_i, T_a, T_moy. On notera sur le schéma Φ₁ le flux qui part dans la partie inférieure et Φ₂ celui part dans la partie supérieure.

3-) Donner l’expression littérale de l’épaisseur e_i de l’isolant pour que seulement 5% du flux fourni par la conduite d’eau passe par la partie inférieure. Calculer e_i et la température T_a dans cette configuration.