0183-3ACh2. Étude de la diffusion thermique dans une barre de cuivre*

On cherche à étudier le phénomène de diffusion thermique dans une barre cylindrique de   cuivre, de diamètre d = 15 mm et de conductivité thermique λ (voir Figure ci-dessous ). À cet effet, on creuse une cavité à l’extrémité de la barre (en z = 0) pour y placer une résistance chauffante R_ch = 8Ω. Cette résistance est alimentée par un générateur délivrant une tension continue U₀ = 6V. Afin de rendre les pertes thermiques par la face latérale du cylindre négligeables, le barreau de cuivre est isolé latéralement par une matière plastique de conductivité thermique suffisamment faible (isolant thermique) par rapport à celle du cuivre. La mesure de température se fait par l’intermédiaire de petits capteurs logés dans des puits creusés latéralement en divers points du cylindre conducteur. Un dispositif de refroidissement par circulation d’eau est placé à l’autre extrémité de la barre de telle sorte que la température du cuivre y soit égale à 20.0°C (T(L) = 20°C).

On se place tout d’abord en régime stationnaire et on suppose que la température, considérée uniforme dans une section droite de la barre, ne dépend que de la position z.

1-) Quel est a priori la direction et le sens du vecteur gradient de T ? Rappeler la loi de Fourier donnant l’expression du vecteur densité de flux thermique. Préciser la signification des différents termes de l’équation ainsi que leur dimension respective.

2-) Exprimer la puissance électrique fournie par l’alimentation continue à la résistance chauffante. En supposant que cette puissance est intégralement transférée à la barre située dans la partie z > 0, exprimer la densité de flux en z = 0, en fonction de R_ch, U₀ et d.

3-) A partir d’un bilan énergétique effectué pour la portion de barre comprise entre z et z + dz, et des hypothèses données, montrer que le vecteur densité de flux est uniforme au sein de la barre.

4-) Déduire de la question précédente, l’équation de diffusion thermique, dite « équation de la chaleur ».

5-) Exprimer littéralement la loi d’évolution de la température T(z), en fonction des données ci-dessus et de T(L).

6-) Les deux capteurs de température placés en z₁ = 8cm et z₂ = 16cm indiquent T(z₁) = 46,4°C et T(z₂) = 41,4°C. Donner l’expression de la conductivité thermique λ du cuivre et calculer sa valeur numérique.