0184-3ACh3. Sphère creuse à surfaces isothermes*

Note Culturelle :

La sphère creuse à surfaces isothermes représente un cas pratique aux avantages offerts par la géométrie sphérique : volume maximal couvert par une surface minimale, distribution uniforme de pression. Cette géométrie est parfaitement adaptée à certaines circonstances par exemple : dans l’architecture et la construction des bâtiments civils et industriels prévus avec une coupole hémisphérique, ou bien dans l’industrie chimique où l’on utilise des réservoirs sphériques de stockages, pour différents agents chimiques.

On considère une sphère creuse de rayons intérieur r1 et extérieur r2, construite avec un matériau homogène et isotrope, ayant une conductivité thermique k constante. Les surfaces limites ont des températures constantes et uniformes T1 et T2 (voir figure ci-dessous). On suppose de plus une absence de terme source et le régime permanent atteint. L’objectif de ce problème est de déterminer les températures aux interfaces T1 et T2.

1-) A partir de l’équation de diffusion de la chaleur en coordonnées sphériques, donner le champ de température à travers la couche de conduction.

2-) Déduire de la question précédente, le flux thermique traversant la couche de conduction. Que peut-on dire du flux ainsi trouvé ?

3-) Exprimer les résistances thermiques de convection interne et externe de la sphère, et la résistance thermique de conduction.

4-) Donner une représentation du modèle électrique correspondant à la sphère multicouches. Faire apparaître sur cette représentation les températures aux interfaces T1 et T2.

5-) Enfin, calculer les températures aux interfaces (T1 et T2)

Données :

Tf1 = 50°C ; Tf2 = 20°C ; r1 = 0,8m ; r2 = 1m ; h1 = 1000 W.m-2.K-1; h2 = 10 W.m-2.K-1 ; k = 50 W.m-1.K-1.

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