0186-3ACh5. Trempe d’une bille sphérique en 2 étapes*

Une bille métallique et sphérique de rayon R = 5 mm, se trouve initialement à une température T₀₀ = 400°C. Elle est soumise à un traitement thermique en deux étapes : trempe dans l’air et ensuite dans l’eau (voir Figure ci-dessous). Pour ces deux étapes, on donne : la conductivité thermique de la bille k = 20W.m^-1.K^-1 ; sa chaleur spécifique c_p = 1000 J.kg^-1.K^-1 et sa masse volumique ρ = 3000 kg.m^-3.

I-) Dans la première étape, on la refroidit dans l’air à une température T_air = 20°C, pendant un temps t_air, nécessaire pour avoir une température au centre de la sphère de 335°C. Pendant cette étape, le coefficient de convection à la surface de la bille vaut h_air = 10 W.m^-2.K^-1.

1-) Peut-on considérer la température au sein de la bille comme uniforme à cette étape ? justifier votre réponse.

2-) Calculer le temps t_air au bout duquel la température au centre de la bille atteint les 335 °C

II-) Dans cette deuxième étape, après la trempe dans l’air la bille est directement introduite dans un bain d’eau à la température T_eau = 20°C. Le bain est plus ou moins remué avec un agitateur (non représenté sur le schéma), ainsi le coefficient d’échange convectif de l’eau varie, sa valeur est comprise entre 1000 W.m^-2.K^-1 et 6000 W.m^-2.K^-1, enfonction de la vitesse d’agitation. On notera bien que pour cette deuxième étape, la température initiale de la bille est T₀₁ = 335°C et le nombre de Fourier vaut F₀ = 28.

3-) Rappeler l’expression de la loi d’évolution de la température sous forme adimensionnelle (en fonction des nombres de Fourier et Biot)

4-) Déduire de la question précédente, le nombre de Biot permettant d’avoir une température de 50°C au centre de la bille, lors de cette deuxième trempe.

5-) Est-ce que l’hypothèse de corps mince est toujours valable dans cette configuration ? justifier votre réponse.  

6-) Rappeler l’expression du nombre de Biot en fonction du coefficient h_eau et déterminer la valeur de h_eau à partir de laquelle l’hypothèse de corps mince cesse d’être valide. Déduire des données de l’énoncé, les valeurs de h_eau pour lesquelles la bille serait considérée comme thermiquement épaisse.