0192-2ACh2. Refroidissement d’un gaz parfait par une série de compressions et détentes*

On désire refroidir l’hélium gazeux (M_He = 4g/mol) pris initialement à la température T₀ = 298 K et à la pression P₀ = 1,0 x 10⁵ Pa. Pour cela, il est mis en contact avec un Thermostat qui lui fait subir plusieurs transformations successives ((1) et (2)), voir figure ci-dessous. On supposera que le Thermostat et le gaz sont enfermés dans une enceinte parfaitement calorifugée.

• (1) Compression isotherme et réversible jusqu’à P₁ = aP₀, ici a = 6.
• (2) Détente adiabatique et réversible jusqu’à la pression initiale P₀ et une température T₁.

Dans toutes les questions suivantes, les transformations sont réalisées pour n mole d’hélium (gaz parfait Monoatomique).

1-) Exprimez la température T₁ en fonction de T₀, a et γ, puis faire l’application numérique. En déduire le rapport x = T₁/T₀

2-) Obtiendrait-on une température T₁ plus petite ou plus grande en utilisant un gaz Diatomique ?

3-) Calculez le travail molaire (n = 1 mol) ΔW₁ mis en jeu lors de la compression (1) et commentez son signe.

4-) Calculez le travail molaire (n = 1 mol) ΔW₂ mis en jeu lors de la détente (2) et commentez son signe.

5-) En déduire le travail total échangé avec l’extérieur par kilogramme (m = 1Kg) d’hélium ayant subi les transformations (1) et (2) : ΔW_tot = n(ΔW₁ + ΔW₂ ), dans cette relation n représente le nombre de mole d’hélium. Commentez son signe.

6-) A l’issue de la 2^e transformation, l’hélium obtenu (température T₁ et pression P₀) est à nouveau soumis aux transformations (1) et (2), à partir de la température T₁. La température finale sera ici notée T₂. Exprimez T₂ en fonction de T₀ et x.

7-) L’hélium pris dans les conditions initiales T₀ et P₀ subit N fois les transformations (1) et (2). La température finale sera notée T_N. Exprimez T_N en fonction de T₀, x et N.

8.-) Combien de fois au minimum (N_min) doit-on faire subir la compression (1) suivie de la détente (2) à l’hélium pris à T₀ = 298 K et à P₀ = 1,0 x 10⁵ Pa pour abaisser sa température en dessous de 30 K ?

9-) Déterminer la variation d’entropie de l’hélium à chaque étape (1 à N_min)

10-) En déduire la variation d’entropie totale de l’hélium et la variation d’entropie totale du Thermostat assurant le refroidissement.